Fiche de Révision : Dénombrement

Le dénombrement est une branche fondamentale des mathématiques qui consiste à compter le nombre d’éléments d’un ensemble ou le nombre de façons possibles d’organiser ou de sélectionner des objets. Cette fiche couvre les notions principales : cardinal, nombre de parties d’un ensemble, listes, permutations, combinaisons, formule de Pascal, triangle de Pascal et binôme de Newton.

1. Cardinal d’un ensemble

Le cardinal d’un ensemble [Formule], noté [Formule], est le nombre d’éléments que contient cet ensemble.

• Exemple : Si [Formule], alors [Formule].
• Le cardinal est un entier naturel.

2. Nombre de parties d’un ensemble

Une partie d’un ensemble [Formule] est un sous-ensemble de [Formule].

• Si [Formule], alors le nombre total de parties de [Formule] est égal à [Formule].
• Cela inclut la partie vide [Formule] et l’ensemble [Formule] lui-même.

Exemple :

Pour [Formule], [Formule].

Nombre de parties = [Formule] :

[Formule mathématique]

3. Listes

Une liste est une suite ordonnée d’éléments où l’ordre compte et les répétitions sont possibles.

• Pour former une liste de longueur [Formule] avec des éléments d’un ensemble de taille [Formule] (avec répétition autorisée), le nombre de listes possibles est :

[Formule mathématique]

• Si les éléments ne peuvent pas se répéter, alors le nombre de listes de longueur [Formule] est :

[Formule mathématique]

4. Permutations

Une permutation est une liste ordonnée contenant tous les éléments d’un ensemble, sans répétition.

• Le nombre de permutations d’un ensemble de [Formule] éléments est :

[Formule mathématique]

• Par convention, [Formule].

Exemple :

Pour [Formule], le nombre de permutations est :

[Formule mathématique]

Les permutations sont : [Formule], [Formule], [Formule], [Formule], [Formule], [Formule].

Permutations avec éléments identiques

Si un ensemble contient des éléments identiques, par exemple [Formule] éléments dont [Formule] sont identiques, [Formule] sont identiques, ..., alors le nombre de permutations distinctes est :

[Formule mathématique]

5. Combinaisons

Une combinaison est un sous-ensemble de [Formule] éléments choisis parmi [Formule], où l’ordre ne compte pas.

• Le nombre de combinaisons de [Formule] éléments parmi [Formule] est appelé coefficient binomial et noté :

[Formule mathématique]

• On a [Formule] et [Formule].

Exemple :

Le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 4 est :

[Formule mathématique]

6. Formule de Pascal

La formule de Pascal est une relation récursive entre les coefficients binomiaux :

[Formule mathématique]

Elle exprime que le nombre de combinaisons de [Formule] parmi [Formule] est la somme des combinaisons de [Formule] parmi [Formule] et de [Formule] parmi [Formule].

7. Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une représentation triangulaire des coefficients binomiaux :

• La première ligne correspond à [Formule] : [Formule]
• Chaque élément est la somme des deux éléments situés juste au-dessus à gauche et à droite.

[Diagramme]

• La ligne [Formule] contient les coefficients [Formule].

8. Binôme de Newton

Le binôme de Newton donne le développement de la puissance d’une somme :

[Formule mathématique]

• Chaque terme est formé du coefficient binomial [Formule] multiplié par [Formule].
• Cette formule est très utile en algèbre et en probabilités.

Exemple :

Pour [Formule] :

[Formule mathématique]

Soit :

[Formule mathématique]

Récapitulatif des formules clés

Conclusion

Le dénombrement est un outil puissant pour analyser des situations où il faut compter des arrangements, des sélections ou des combinaisons. La maîtrise des notions de cardinal, listes, permutations, combinaisons, ainsi que des outils comme le triangle de Pascal et le binôme de Newton est essentielle pour avancer en probabilités, algèbre et combinatoire.

Bonnes révisions !