Limites de fonctions — Terminale spécialité

1. Définitions et rappels fondamentaux

1.1 Limite finie en un point fini

Soit [Formule] une fonction définie sur un intervalle contenant [Formule], sauf peut-être en [Formule]. On dit que :

[Formule mathématique]

si pour toute valeur [Formule], il existe un [Formule] tel que pour tout [Formule] satisfaisant [Formule], on a :

[Formule mathématique]

Interprétation : quand [Formule] s'approche de [Formule] (sans être égal à [Formule]), [Formule] s'approche de [Formule].

1.2 Limite infinie en un point fini

• Limite infinie à droite :

[Formule mathématique]

signifie que pour tout [Formule], il existe [Formule] tel que si [Formule], alors [Formule].

• Limite infinie à gauche :

[Formule mathématique]

signifie que pour tout [Formule], il existe [Formule] tel que si [Formule], alors [Formule].

1.3 Limite en l'infini

Soit [Formule] définie sur un intervalle [Formule].

• On dit que [Formule] si [Formule] se rapproche de [Formule] quand [Formule] devient très grand.
• On dit que [Formule] si [Formule] devient arbitrairement grand quand [Formule].

Les définitions sont analogues pour [Formule].

2. Propriétés des limites

2.1 Unicité de la limite

Si la limite de [Formule] en [Formule] existe, alors elle est unique.

2.2 Limites à gauche et à droite

Pour que la limite [Formule] existe et soit égale à [Formule], il faut que :

[Formule mathématique]

Sinon, on dit que la limite n'existe pas en [Formule].

2.3 Opérations sur les limites

Si [Formule] et [Formule] avec [Formule], alors :

• Somme :

[Formule mathématique]

(sauf formes indéterminées)

• Produit :

[Formule mathématique]

• Quotient (si [Formule]) :

[Formule mathématique]

2.4 Formes indéterminées

Certaines expressions ne permettent pas de conclure directement, on parle de formes indéterminées :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]
• [Formule], [Formule], [Formule]

Dans ces cas, il faut utiliser des méthodes spéciales (factorisation, conjugaison, règles de l'Hôpital, développement limité...).

3. Méthodes de calcul des limites

3.1 Substitution directe

Si la fonction est définie en [Formule] et que la limite est une forme déterminée, on peut calculer la limite par :

[Formule mathématique]

3.2 Factorisation et simplification

Quand on a une forme [Formule], on peut souvent :

• Factoriser le numérateur et le dénominateur,
• Simplifier par un facteur commun,
• Calculer la limite du quotient simplifié.

Exemple :

[Formule mathématique]

3.3 Utilisation des développements limités

Pour des limites plus complexes, on peut approcher la fonction par un développement limité en [Formule].

Exemple :

[Formule mathématique]

car [Formule].

3.4 Règle de l'Hôpital

Si la limite donne une forme indéterminée [Formule] ou [Formule], et si [Formule] et [Formule] sont dérivables près de [Formule] avec [Formule], alors :

[Formule mathématique]

si cette seconde limite existe.

3.5 Limites en l'infini : comparaison des croissances

• Polynômes : Le terme dominant détermine la limite. Exemple : [Formule mathématique]
• Fonctions exponentielles vs polynômes : [Formule mathématique]
• Fonctions logarithmes vs puissances : [Formule mathématique]

4. Limites remarquables

4.1 Limites usuelles

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

4.2 Limites à l'infini pour les fonctions rationnelles

Soit une fonction rationnelle :

[Formule mathématique]

avec [Formule] et [Formule] des polynômes.

• Si [Formule], alors [Formule].
• Si [Formule], alors la limite est le rapport des coefficients dominants.
• Si [Formule], alors la limite est [Formule] selon le signe du terme dominant.

5. Étude des limites en pratique

5.1 Exemple 1 : Limite en un point

Calculer :

[Formule mathématique]

Solution :

• Forme [Formule].
• Factoriser :

[Formule mathématique]

• Donc

[Formule mathématique]

5.2 Exemple 2 : Limite à l'infini

Calculer :

[Formule mathématique]

Solution :

• On divise numérateur et dénominateur par [Formule] :

[Formule mathématique]

• Quand [Formule], les termes avec [Formule] au dénominateur tendent vers 0.
• Donc limite :

[Formule mathématique]

5.3 Exemple 3 : Limite infinie

Calculer :

[Formule mathématique]

Solution :

• Lorsque [Formule], [Formule] est positif et très proche de zéro.
• Donc [Formule] devient très grand positif.
• Ainsi,

[Formule mathématique]

6. Limites et asymptotes

6.1 Asymptote verticale

Si

[Formule mathématique]

alors la droite [Formule] est une asymptote verticale.

6.2 Asymptote horizontale

Si

[Formule mathématique]

alors la droite [Formule] est une asymptote horizontale.

6.3 Asymptote oblique

Si

[Formule mathématique]

avec [Formule], alors la droite [Formule] est une asymptote oblique.

Pour déterminer [Formule] et [Formule] :

• [Formule]
• [Formule]

7. Exercices types à maîtriser

• Calculer des limites classiques avec substitution directe.
• Gérer les formes indéterminées par factorisation ou conjugaison.
• Utiliser la règle de l'Hôpital dans les cas [Formule] ou [Formule].
• Étudier les limites à l'infini des fonctions rationnelles.
• Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques.
• Utiliser les limites pour étudier la continuité et la dérivabilité.

8. Conclusion

La maîtrise des limites est essentielle pour comprendre le comportement local et global des fonctions. Elle permet d’analyser les variations, les points singuliers et les asymptotes. En Terminale spécialité, il est important d’être à l’aise avec les différentes techniques de calcul, la reconnaissance des formes indéterminées, et la signification géométrique des limites.

Bonne révision et n'oubliez pas de pratiquer avec des exercices variés pour consolider vos acquis !