Programme complet de Mathématiques — Brevet des collèges 2026

L'épreuve de mathématiques au Brevet des collèges dure 2 heures et est notée sur 100 points. Elle porte sur l'ensemble du programme de cycle 4 (5e, 4e, 3e), avec un accent particulier sur la classe de 3e. L'épreuve comporte entre cinq et sept exercices indépendants couvrant les quatre grands domaines : nombres et calculs, géométrie, fonctions, et statistiques-probabilités. Un exercice d'algorithmique (Scratch) est systématiquement présent.

Cette fiche de révision couvre de manière exhaustive chaque chapitre du programme officiel 2025-2026.

1. Nombres et calculs

1.1 — Fractions

Les fractions sont omniprésentes au brevet. Vous devez maîtriser les quatre opérations.

Addition et soustraction : il faut réduire au même dénominateur.

• a/b + c/d = (ad + bc) / bd
• Exemple : 2/3 + 5/7 = 14/21 + 15/21 = 29/21

Multiplication : on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.

• a/b × c/d = ac / bd
• Exemple : 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10

Division : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

• a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad / bc
• Exemple : 7/3 ÷ 2/5 = 7/3 × 5/2 = 35/6

Simplification : toujours simplifier par le PGCD des numérateur et dénominateur.

1.2 — Puissances

Les puissances permettent d'écrire des nombres très grands ou très petits.

Règles fondamentales :

• a^n × a^m = a^(n+m)
• a^n / a^m = a^(n−m)
• (a^n)^m = a^(n×m)
• a^0 = 1 (pour a ≠ 0)
• a^(−n) = 1 / a^n

Notation scientifique : un nombre est écrit sous la forme a × 10^n, avec 1 ≤ a < 10.

• Exemple : 0,00045 = 4,5 × 10^(−4)
• Exemple : 3 200 000 = 3,2 × 10^6

Exercice type brevet : Calculer A = (2^3 × 2^5) / 2^4. On obtient A = 2^(3+5−4) = 2^4 = 16.

1.3 — Racines carrées

La racine carrée de a (avec a ≥ 0) est le nombre positif dont le carré vaut a.

Propriétés essentielles :

• √(a × b) = √a × √b
• √(a / b) = √a / √b (avec b > 0)
• (√a)² = a
• √(a²) = |a| (valeur absolue de a)

Simplification : on cherche un carré parfait sous la racine.

• √50 = √(25 × 2) = 5√2
• √72 = √(36 × 2) = 6√2
• √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

Attention : √(a + b) ≠ √a + √b. Par exemple, √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

1.4 — Calcul littéral

Le calcul littéral est central dans l'épreuve. Il faut savoir développer, factoriser et résoudre.

Développer : appliquer la distributivité.

• k(a + b) = ka + kb
• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Identités remarquables (à connaître par cœur) :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Exemples d'application :

• (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
• (5x − 1)² = 25x² − 10x + 1
• (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9

Factoriser : c'est l'opération inverse du développement.

• 6x² + 9x = 3x(2x + 3) (facteur commun)
• x² − 16 = (x + 4)(x − 4) (identité remarquable a² − b²)
• x² + 6x + 9 = (x + 3)² (identité remarquable)

1.5 — Équations et inéquations

Équation du premier degré : ax + b = 0, soit x = −b/a.

• Exemple : 3x − 7 = 2x + 5 → 3x − 2x = 5 + 7 → x = 12

Équation produit : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

• (2x − 6)(x + 4) = 0
• Soit 2x − 6 = 0, donc x = 3
• Soit x + 4 = 0, donc x = −4
• Solutions : S = {−4 ; 3}

Inéquation : on résout comme une équation, mais on inverse le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

• −2x + 6 > 0 → −2x > −6 → x < 3

Mise en équation : au brevet, il est fréquent de devoir traduire un problème concret en équation. Identifiez l'inconnue, traduisez les données, résolvez, puis vérifiez la solution dans le contexte.

1.6 — Arithmétique

Divisibilité : a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est 0.

Nombres premiers : un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Décomposition en facteurs premiers :

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 84 = 2² × 3 × 7

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : le plus grand nombre qui divise à la fois a et b.

• Pour simplifier des fractions : 84/120. PGCD(84, 120) = 12, donc 84/120 = 7/10.

Critères de divisibilité :

• Par 2 : chiffre des unités pair
• Par 3 : somme des chiffres divisible par 3
• Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5
• Par 9 : somme des chiffres divisible par 9

2. Géométrie

2.1 — Théorème de Pythagore

Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC²

Application directe : Un triangle ABC est rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm.

Réciproque (pour prouver qu'un triangle est rectangle) : Si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

• Exemple : AB = 5, AC = 12, BC = 13. BC² = 169. AB² + AC² = 25 + 144 = 169. Donc le triangle est rectangle en A.

Contraposée (pour prouver qu'un triangle n'est PAS rectangle) : Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle.

Au brevet : le théorème de Pythagore est présent dans presque tous les sujets. Pensez à l'utiliser dans des situations concrètes (distance, diagonale d'un rectangle, hauteur d'un triangle).

2.2 — Théorème de Thalès

Énoncé : Si deux droites sont coupées par deux droites sécantes en un même point, et si ces droites sont parallèles, alors les rapports des longueurs correspondantes sont égaux.

Configuration classique : Les droites (BC) et (DE) sont parallèles, A est le point d'intersection des sécantes.

AB/AD = AC/AE = BC/DE

Exemple : On donne AB = 4, AD = 6, AC = 3. Calculer AE.

AB/AD = AC/AE → 4/6 = 3/AE → AE = (3 × 6)/4 = 18/4 = 4,5 cm.

Réciproque (pour prouver que deux droites sont parallèles) : Si AB/AD = AC/AE et si les points sont dans le même ordre sur les sécantes, alors (BC) // (DE).

Attention : vérifiez toujours l'alignement des points et l'ordre des rapports. Si les points ne sont pas dans le même ordre (configuration en « papillon »), les rapports sont toujours valides mais les segments sont de part et d'autre du point d'intersection.

2.3 — Trigonométrie

Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques relient angles et côtés.

Définitions (dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α) :

• cos α = côté adjacent / hypoténuse
• sin α = côté opposé / hypoténuse
• tan α = côté opposé / côté adjacent

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA

• Sin = Opposé / Hypoténuse
• Cos = Adjacent / Hypoténuse
• Tan = Opposé / Adjacent

Valeurs remarquables :

Calculer une longueur : Dans un triangle ABC rectangle en A, angle B = 35°, BC = 8 cm. Calculer AB.

cos(35°) = AB/BC → AB = BC × cos(35°) = 8 × cos(35°) ≈ 8 × 0,819 ≈ 6,55 cm.

Calculer un angle : AB = 5 cm, BC = 10 cm, triangle rectangle en A. Trouver l'angle B.

cos(B) = AB/BC = 5/10 = 0,5 → B = arccos(0,5) = 60°.

2.4 — Transformations du plan

Symétrie axiale : chaque point est transformé en son symétrique par rapport à un axe. Le segment reliant un point et son image est perpendiculaire à l'axe et coupé en son milieu par l'axe.

Symétrie centrale : chaque point est transformé en son symétrique par rapport à un centre O. Le centre O est le milieu du segment reliant un point et son image.

Translation : elle déplace chaque point d'un même vecteur. Si M est translaté par le vecteur u, alors M' = M + u. La translation conserve les longueurs, les angles et le parallélisme.

Rotation : elle fait tourner chaque point d'un angle donné autour d'un centre. La rotation conserve les longueurs et les angles. Exemple : une rotation de 90° dans le sens anti-horaire autour de l'origine transforme le point (x, y) en (−y, x).

Homothétie : transformation de centre O et de rapport k. Si M' est l'image de M, alors OM' = k × OM. L'homothétie multiplie les longueurs par |k| et les aires par k². Si k > 0, M et M' sont du même côté de O. Si k < 0, ils sont de part et d'autre.

2.5 — Géométrie dans l'espace

Les solides à connaître :

Sections de solides :

• Section d'un cube par un plan parallèle à une face : un carré
• Section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe : un rectangle
• Section d'une sphère par un plan : un cercle
• Section d'un cône par un plan parallèle à la base : un cercle (réduction)

Patron : représentation aplatie d'un solide. Sachez reconstituer un solide à partir de son patron et inversement.

Agrandissement et réduction : si les longueurs sont multipliées par un coefficient k, alors les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.

3. Fonctions

3.1 — Notion de fonction

Une fonction f associe à chaque valeur x de son ensemble de définition une unique valeur f(x).

Vocabulaire :

• f(x) est l'image de x par la fonction f
• x est un antécédent de f(x)
• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents mais une seule image

Lecture graphique : sur une courbe représentative, lire l'image de x revient à trouver l'ordonnée du point d'abscisse x. Trouver les antécédents de y revient à lire les abscisses des points d'ordonnée y.

3.2 — Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax.

• Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine
• Le coefficient a est le coefficient de proportionnalité (ou pente)
• Si a > 0, la fonction est croissante
• Si a < 0, la fonction est décroissante
• Si a = 0, la fonction est constante (f(x) = 0)

Lien avec la proportionnalité : une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire. Exemple : le prix est proportionnel au poids → P(x) = 3,5x (3,50 € par kg).

3.3 — Fonctions affines

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b.

• Sa représentation graphique est une droite d'ordonnée à l'origine b et de coefficient directeur a
• a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁) — c'est la pente de la droite
• b = f(0) — c'est l'ordonnée à l'origine

Cas particuliers :

• Si b = 0 : fonction linéaire (droite passant par l'origine)
• Si a = 0 : fonction constante (droite horizontale)

Déterminer une fonction affine à partir de deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) :

1. Calculer a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
2. Remplacer dans y = ax + b avec un point pour trouver b

Exemple : A(1, 3) et B(4, 9). a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2. Puis 3 = 2 × 1 + b → b = 1. Donc f(x) = 2x + 1.

3.4 — Représentations graphiques

Lire un graphique :

• Identifier l'image : partir de x sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, lire y sur l'axe des ordonnées
• Identifier les antécédents : partir de y sur l'axe des ordonnées, aller horizontalement jusqu'à la courbe, lire x sur l'axe des abscisses
• Déterminer les variations : la fonction croît quand la courbe monte de gauche à droite, décroît quand elle descend
• Identifier le maximum/minimum : point le plus haut ou le plus bas de la courbe

4. Statistiques et probabilités

4.1 — Statistiques

Moyenne : somme des valeurs / nombre total de valeurs. Pour une série regroupée en classes, on utilise les centres de classe.

• Moyenne pondérée : x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₖxₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ)

Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.

• Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N+1)/2
• Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2 + 1

Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur. L'étendue mesure la dispersion de la série.

Quartiles :

• Q1 (premier quartile) : valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales
• Q3 (troisième quartile) : valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales
• Écart interquartile : Q3 − Q1. Il contient 50 % des valeurs centrales

Diagramme en boîte : représentation graphique montrant le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum. Il permet de comparer visuellement la distribution de plusieurs séries.

4.2 — Probabilités

Vocabulaire :

• Expérience aléatoire : son issue ne peut être prévue avec certitude
• Univers (Ω) : ensemble de toutes les issues possibles
• Événement : sous-ensemble de l'univers
• Événement élémentaire : constitué d'une seule issue
• Événement contraire de A : noté Ā, il contient toutes les issues qui ne sont pas dans A

Propriétés fondamentales :

• La probabilité d'un événement est comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ P(A) ≤ 1
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1
• P(Ā) = 1 − P(A) (probabilité de l'événement contraire)
• Si les issues sont équiprobables : P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues

Arbre de probabilités : outil pour représenter des expériences aléatoires successives.

• La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1
• La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin

Exemple : On tire deux billes dans un sac contenant 3 billes rouges et 2 billes bleues (avec remise).

• P(Rouge puis Rouge) = 3/5 × 3/5 = 9/25
• P(au moins une bleue) = 1 − P(Rouge puis Rouge) = 1 − 9/25 = 16/25

5. Algorithmique et programmation (Scratch)

5.1 — Notions fondamentales

Au brevet, un exercice est toujours consacré à l'algorithmique. Il utilise le langage Scratch (programmation par blocs).

Les structures de base :

• Variable : stocke une valeur (nombre, texte). On peut l'initialiser, la modifier, l'afficher
• Instruction : action élémentaire (mettre une variable à ..., avancer de ..., tourner de ...)
• Boucle : répète un bloc d'instructions un certain nombre de fois

Les types de boucles :

• Répéter n fois : exécute le bloc exactement n fois
• Répéter jusqu'à (condition) : exécute le bloc tant que la condition n'est pas vérifiée

Les conditions (si ... alors ... sinon) :

• Si la condition est vraie, le bloc « si » est exécuté
• Sinon, le bloc « sinon » est exécuté (s'il existe)

5.2 — Applications géométriques

Scratch est souvent utilisé pour tracer des figures géométriques :

Carré de côté c :

• Répéter 4 fois : avancer de c, tourner de 90°

Triangle équilatéral de côté c :

• Répéter 3 fois : avancer de c, tourner de 120°

Hexagone régulier de côté c :

• Répéter 6 fois : avancer de c, tourner de 60°

Polygone régulier à n côtés :

• Répéter n fois : avancer de c, tourner de (360/n)°

Spirale carrée :

• On augmente la distance parcourue à chaque côté : mettre longueur à 10, puis répéter (avancer de longueur, tourner de 90°, ajouter 10 à longueur)

5.3 — Exercice type brevet

Un programme Scratch demande un nombre N à l'utilisateur, puis calcule la somme des entiers de 1 à N.

• Mettre Somme à 0
• Mettre i à 1
• Répéter jusqu'à (i > N) : Ajouter i à Somme, Ajouter 1 à i
• Afficher Somme

Pour N = 5 : Somme = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. On peut vérifier avec la formule : N × (N + 1) / 2 = 5 × 6 / 2 = 15.

6. Conseils de méthode pour le brevet de maths

Gestion du temps

L'épreuve dure 2 heures pour 5 à 7 exercices. Consacrez environ 20 minutes par exercice et gardez 10 minutes pour relire.

Rédaction

• Toujours citer le théorème utilisé avant de l'appliquer : « D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A... »
• Écrire les calculs étape par étape : ne sautez aucune ligne de calcul
• Conclure par une phrase : « On en déduit que BC = 5 cm » ou « Le triangle ABC est rectangle en A »

Vérification

• Vérifiez l'unité de mesure demandée
• Vérifiez que votre résultat est cohérent (une longueur ne peut pas être négative, un angle d'un triangle est entre 0° et 180°)
• Pour les équations, remplacez la solution trouvée dans l'équation de départ

Formules à connaître par cœur