Programme de Mathématiques — Seconde 2025-2026

La classe de Seconde constitue une année charnière entre le collège et le cycle terminal du lycée. Le programme de mathématiques consolide les acquis du collège et introduit de nouvelles notions essentielles pour la spécialité mathématiques de Première. Cette fiche couvre l'intégralité du programme officiel de Seconde, organisé en cinq grands thèmes.

1. Nombres et calculs

Ensembles de nombres

En Seconde, on formalise les différents ensembles de nombres rencontrés depuis le collège :

• ℕ (entiers naturels) : 0, 1, 2, 3, … Ce sont les nombres utilisés pour compter.
• ℤ (entiers relatifs) : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Les entiers naturels plus leurs opposés.
• 𝔻 (nombres décimaux) : les nombres qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple 3,75 ou −0,4.
• ℚ (nombres rationnels) : les nombres qui s'écrivent sous la forme a/b avec a ∈ ℤ et b ∈ ℤ* (b ≠ 0). Par exemple 1/3, −7/2. Tout décimal est rationnel.
• ℝ (nombres réels) : l'ensemble de tous les nombres qui peuvent être placés sur la droite graduée. Il contient les rationnels et les irrationnels (comme √2, π, etc.).

On a l'inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Intervalles et valeur absolue

Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ « sans trou ». Notations :

• [a ; b] = ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b (intervalle fermé)
• ]a ; b[ = ensemble des réels x tels que a < x < b (intervalle ouvert)
• [a ; +∞[ = ensemble des réels x tels que x ≥ a
• ]−∞ ; b] = ensemble des réels x tels que x ≤ b

La valeur absolue de x, notée |x|, est la distance de x à 0 sur la droite graduée. |x| = x si x ≥ 0, |x| = −x si x < 0. La distance entre deux réels a et b est |a − b|.

Calcul littéral

Le calcul littéral est un outil fondamental. On doit savoir développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit).

Identités remarquables — à connaître par cœur :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Exemples :

• Développer (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
• Factoriser x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
• Factoriser 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²

Équations et inéquations du premier degré

Équation du 1er degré : ax + b = 0 avec a ≠ 0. Solution : x = −b/a.

Inéquation du 1er degré : ax + b > 0. Si a > 0, alors x > −b/a. Si a < 0, on inverse le sens de l'inégalité : x < −b/a.

Systèmes de 2 équations à 2 inconnues — Deux méthodes principales :

1. Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde.
2. Combinaison (addition) : on multiplie les équations pour éliminer une inconnue.

Exemple : résoudre le système {2x + 3y = 7 ; x − y = 1}. Par substitution : x = 1 + y, puis 2(1 + y) + 3y = 7, d'où 5y = 5, y = 1, x = 2. Solution : (2 ; 1).

Calcul numérique : fractions, puissances, racines carrées

Fractions : a/b + c/d = (ad + bc)/(bd). a/b × c/d = (ac)/(bd). Pour diviser, on multiplie par l'inverse.

Puissances (n et m entiers, a ≠ 0) :

• a^n × a^m = a^(n+m)
• a^n / a^m = a^(n−m)
• (a^n)^m = a^(n×m)
• a^(−n) = 1/a^n
• a^0 = 1

Racines carrées (a ≥ 0, b ≥ 0) :

• √(a × b) = √a × √b
• √(a/b) = √a / √b (b > 0)
• (√a)² = a
• √(a²) = |a|

2. Géométrie

Repérage dans le plan

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tout point M du plan est repéré par ses coordonnées (x ; y).

Distance entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) :

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)

Coordonnées du milieu de [AB] :

M = ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2)

Vecteurs

Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Le vecteur AB⃗ a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A).

Opérations sur les vecteurs :

• Somme : u⃗(x₁ ; y₁) + v⃗(x₂ ; y₂) = (x₁ + x₂ ; y₁ + y₂)
• Produit par un scalaire : k × u⃗(x₁ ; y₁) = (kx₁ ; ky₁)
• Norme : ||u⃗|| = √(x₁² + y₁²)

Colinéarité : deux vecteurs u⃗(x₁ ; y₁) et v⃗(x₂ ; y₂) sont colinéaires si et seulement si x₁y₂ − x₂y₁ = 0 (le déterminant est nul). Cela signifie qu'ils ont la même direction. Deux points sont alignés avec un troisième si les vecteurs correspondants sont colinéaires.

Droites dans le plan

Équation cartésienne : une droite peut s'écrire ax + by + c = 0 (a et b non tous deux nuls). Le vecteur n⃗(a ; b) est un vecteur normal à la droite. Le vecteur u⃗(−b ; a) est un vecteur directeur.

Équation réduite : y = mx + p, où m est le coefficient directeur (pente) et p l'ordonnée à l'origine.

Passage de l'une à l'autre : si b ≠ 0, y = (−a/b)x + (−c/b), donc m = −a/b et p = −c/b.

Coefficient directeur entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) (avec x_A ≠ x_B) :

m = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)

Parallélisme : deux droites de coefficients directeurs m₁ et m₂ sont parallèles si et seulement si m₁ = m₂ (ou si les deux sont verticales).

Géométrie plane : configurations

Les configurations classiques à connaître :

• Triangle : somme des angles = 180°. Théorème de Pythagore (triangle rectangle), réciproque de Pythagore pour prouver un angle droit.
• Cercle : ensemble des points à distance r du centre. Diamètre et angle inscrit.
• Parallélogramme : les diagonales se coupent en leur milieu.

3. Fonctions

Notion de fonction

Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x de son ensemble de définition, associe un unique nombre f(x).

• Image : f(x) est l'image de x par f.
• Antécédent : x est un antécédent de y par f si f(x) = y. Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
• Courbe représentative : c'est l'ensemble des points M(x ; f(x)) dans un repère.

Sens de variation et extremum

• f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b dans I, a < b ⟹ f(a) ≤ f(b).
• f est décroissante sur I si a < b ⟹ f(a) ≥ f(b).
• Un maximum de f sur I est la plus grande valeur atteinte par f sur I.
• Un minimum de f sur I est la plus petite valeur atteinte par f sur I.

On résume les variations dans un tableau de variations.

Fonctions de référence

Fonction carré : f(x) = x²

• Ensemble de définition : ℝ
• Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
• Minimum : f(0) = 0
• Courbe : parabole à sommet en O, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• Pour tout x : f(−x) = f(x) (fonction paire)

Fonction inverse : f(x) = 1/x

• Ensemble de définition : ℝ* (x ≠ 0)
• Décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
• Pas d'extremum
• Courbe : hyperbole. Asymptotes : les deux axes
• Pour tout x ≠ 0 : f(−x) = −f(x) (fonction impaire)

Fonction racine carrée : f(x) = √x

• Ensemble de définition : [0 ; +∞[
• Croissante sur [0 ; +∞[
• Minimum : f(0) = 0
• La croissance ralentit : la courbe « s'aplatit » quand x augmente

Fonctions affines : f(x) = ax + b

• Ensemble de définition : ℝ
• Si a > 0 : f est strictement croissante
• Si a < 0 : f est strictement décroissante
• Si a = 0 : f est constante (f(x) = b)
• La courbe est une droite de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b

Résolution graphique

• Résoudre f(x) = k graphiquement : tracer la droite y = k et lire les abscisses des points d'intersection avec la courbe de f.
• Résoudre f(x) > k : repérer les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite y = k.
• Résoudre f(x) = g(x) : lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

4. Statistiques et probabilités

Statistiques descriptives

Indicateurs de position :

• Moyenne : x̄ = (Σ n_i × x_i) / N, où n_i est l'effectif de la valeur x_i et N l'effectif total.
• Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. 50 % des valeurs sont inférieures, 50 % sont supérieures.
• Quartiles : Q1 (25 % des valeurs en dessous), Q3 (75 % en dessous). L'écart interquartile Q3 − Q1 mesure la dispersion centrale.

Indicateur de dispersion :

• Écart-type : σ = √((1/N) × Σ n_i × (x_i − x̄)²). Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

Représentations graphiques : diagrammes en barres, histogrammes, diagrammes en boîte (boîte à moustaches avec min, Q1, médiane, Q3, max).

Probabilités

Vocabulaire :

• Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
• Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles.
• Événement : sous-ensemble de Ω. L'événement contraire de A est noté Ā, et P(Ā) = 1 − P(A).

Propriétés fondamentales :

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A
• P(Ω) = 1 (événement certain)
• P(∅) = 0 (événement impossible)
• Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Formule générale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Équiprobabilité : si toutes les issues ont la même probabilité, P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues.

Arbres de probabilités : outil visuel pour organiser les expériences à plusieurs étapes. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches.

Échantillonnage et intervalle de fluctuation

Pour une proportion théorique p dans une population, un échantillon de taille n donne une fréquence observée f. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est approximativement :

[p − 1/√n ; p + 1/√n]

Si la fréquence observée tombe en dehors de cet intervalle, on peut remettre en question la valeur de p (test d'adéquation).

5. Algorithmique et programmation (Python)

Variables et affectation

En Python, une variable stocke une valeur : x = 5 affecte la valeur 5 à x. Les types principaux : entier (int), flottant (float), chaîne de caractères (str), booléen (bool).

Instructions conditionnelles

if condition:
    instructions si vrai
elif autre_condition:
    instructions
else:
    instructions si faux

Boucles

Boucle for (nombre d'itérations connu) :

for i in range(n):
    instructions

range(n) parcourt les valeurs 0, 1, 2, …, n−1.

Boucle while (nombre d'itérations inconnu) :

while condition:
    instructions

Attention : s'assurer que la condition finit par devenir fausse (sinon boucle infinie).

Fonctions en Python

def nom_fonction(paramètres):
    instructions
    return résultat

Exemple : une fonction qui calcule la distance entre deux points :

import math

def distance(xA, yA, xB, yB):
    return math.sqrt((xB - xA)**2 + (yB - yA)**2)

Applications en algorithmique : recherche d'un seuil (boucle while), calcul itératif (boucle for), simulation d'une expérience aléatoire (module random).

Conseils de méthode pour la Seconde

• Maîtrisez le calcul littéral : c'est la base de tout le reste. Entraînez-vous à factoriser et développer régulièrement.
• Apprenez les fonctions de référence : connaître par cœur l'allure de la courbe, le sens de variation et l'ensemble de définition de x², 1/x, √x et des fonctions affines.
• Faites des tableaux de variations systématiquement pour chaque fonction étudiée.
• En géométrie, dessinez toujours une figure et identifiez les données utiles avant de calculer.
• En probabilités, commencez par identifier l'univers, les événements et utilisez un arbre si l'expérience comporte plusieurs étapes.
• En algorithmique, testez vos programmes à la main avant de les exécuter. Vérifiez les cas limites.