Programme de Mathématiques Spécialité — Terminale 2026

L'épreuve de spécialité mathématiques au baccalauréat dure 4 heures et est notée sur 20 (coefficient 16). Elle comporte 3 à 5 exercices indépendants couvrant l'ensemble du programme.

1. Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r : u(n+1) = u(n) + r. Terme général : u(n) = u(0) + n×r.

Somme des n+1 premiers termes : S = (n+1) × (u(0) + u(n)) / 2

Suite géométrique de raison q (q ≠ 0) : u(n+1) = u(n) × q. Terme général : u(n) = u(0) × q^n.

Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : S = u(0) × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)

Limites de suites

• Si (u(n)) est croissante et majorée, elle converge.
• Si (u(n)) est décroissante et minorée, elle converge.
• Limites de référence : lim n^α = +∞ (α > 0), lim q^n = 0 si |q| < 1, lim q^n = +∞ si q > 1
• Théorème des gendarmes : si v(n) ≤ u(n) ≤ w(n) et lim v(n) = lim w(n) = L, alors lim u(n) = L

Raisonnement par récurrence

Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n₀ :

1. Initialisation : vérifier P(n₀)
2. Hérédité : supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence), montrer P(n+1)
3. Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀

2. Fonctions — Limites et continuité

Limites de fonctions

Limites de référence en +∞ : lim x^n = +∞, lim √x = +∞, lim 1/x = 0, lim e^x = +∞, lim ln(x) = +∞

Formes indéterminées : +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Il faut lever l'indétermination (factorisation, division par le terme dominant, conjugué).

Croissances comparées :

• lim (e^x / x^n) = +∞ quand x → +∞ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance)
• lim (ln(x) / x^n) = 0 quand x → +∞ (toute puissance l'emporte sur le logarithme)
• lim x^n × e^(−x) = 0 quand x → +∞

Asymptotes :

• Horizontale y = L si lim f(x) = L quand x → ±∞
• Verticale x = a si lim f(x) = ±∞ quand x → a
• Oblique y = ax + b si lim [f(x) − (ax + b)] = 0 quand x → ±∞

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a, b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Corollaire (bijection) : si f est continue et strictement monotone sur [a, b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a, b].

3. Dérivation

Dérivées des fonctions usuelles

Règles de dérivation

• (u + v)' = u' + v'
• (k × u)' = k × u'
• (u × v)' = u'v + uv'
• (u/v)' = (u'v − uv') / v²
• (u ∘ v)' = v' × u'(v) (dérivée de composée)

Applications

• Sens de variation : f croissante si f'(x) ≥ 0, décroissante si f'(x) ≤ 0
• Extremum : si f'(x₀) = 0 et f' change de signe en x₀, alors f admet un extremum local en x₀
• Tangente au point A(a, f(a)) : y = f'(a)(x − a) + f(a)

4. Fonction exponentielle

Définition : l'exponentielle est l'unique fonction f telle que f' = f et f(0) = 1. On la note exp ou e^x.

Propriétés algébriques :

• e^(a+b) = e^a × e^b
• e^(a−b) = e^a / e^b
• (e^a)^n = e^(na)
• e^0 = 1, e^1 = e ≈ 2,718

Limites : lim e^x = +∞ (x → +∞), lim e^x = 0 (x → −∞)

Dérivée : (e^x)' = e^x, plus généralement (e^(u(x)))' = u'(x) × e^(u(x))

Équations : e^a = e^b ⟺ a = b. L'exponentielle est strictement positive : e^x > 0 pour tout x.

5. Fonction logarithme népérien

Définition : ln est la fonction réciproque de l'exponentielle. ln(x) est défini pour x > 0.

Propriétés :

• ln(1) = 0, ln(e) = 1
• ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) − ln(b)
• ln(a^n) = n × ln(a)
• e^(ln(x)) = x et ln(e^x) = x

Dérivée : (ln(x))' = 1/x, plus généralement (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x)

Limites : lim ln(x) = +∞ (x → +∞), lim ln(x) = −∞ (x → 0⁺)

Équations et inéquations : ln(a) = ln(b) ⟺ a = b (avec a, b > 0). ln(a) < ln(b) ⟺ a < b (ln est strictement croissante).

6. Intégration

Primitives

Intégrale et calcul d'aire

L'intégrale de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a) où F est une primitive de f.

Interprétation géométrique : si f ≥ 0 sur [a, b], l'intégrale représente l'aire sous la courbe entre x = a et x = b.

Valeur moyenne de f sur [a, b] : μ = (1/(b−a)) × ∫(a→b) f(x) dx

Propriétés :

• Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g
• Relation de Chasles : ∫(a→b) + ∫(b→c) = ∫(a→c)
• Si f ≤ g sur [a, b], alors ∫f ≤ ∫g

Intégration par parties

∫(a→b) u'v = uv − ∫(a→b) uv'

Utile quand le produit u'v est plus facile à intégrer que uv'. Exemples classiques : ∫x × e^x dx, ∫x × ln(x) dx.

7. Probabilités

Variables aléatoires discrètes

Espérance : E(X) = Σ x_i × P(X = x_i). C'est la valeur moyenne attendue.

Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]². Écart-type : σ(X) = √V(X).

Loi binomiale

X suit une loi binomiale B(n, p) si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

• P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k) avec C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)
• E(X) = np, V(X) = np(1−p)

Loi des grands nombres

Quand n est grand, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

Intervalle de fluctuation

Pour une proportion p, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

[p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n)]

8. Géométrie dans l'espace

Vecteurs et droites

Représentation paramétrique d'une droite passant par A(x₀, y₀, z₀) de vecteur directeur u(a, b, c) :

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct (t ∈ ℝ)

Plans

Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0, où n(a, b, c) est un vecteur normal au plan.

Positions relatives :

• Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires
• Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan
• Intersection de deux plans non parallèles : une droite

Produit scalaire dans l'espace

u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ)

Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0

Distance d'un point M(x₀, y₀, z₀) à un plan ax + by + cz + d = 0 : d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

9. Trigonométrie (complément)

Fonctions sinus et cosinus

• cos²(x) + sin²(x) = 1
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a)
• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Méthode pour le bac

• Lisez tout le sujet avant de commencer. Repérez les exercices les plus accessibles.
• Rédigez soigneusement : citez les théorèmes, justifiez chaque étape.
• Pour les limites, identifiez la forme indéterminée et la méthode adaptée.
• Pour l'intégration, vérifiez en dérivant votre primitive.
• Pour les probabilités, posez clairement la variable aléatoire et sa loi avant de calculer.