Programme de Mathématiques Spécialité — Première 2025-2026

La spécialité mathématiques en Première est le socle de la formation scientifique au lycée. Elle approfondit les notions de Seconde et introduit des outils puissants qui seront essentiels pour la Terminale et le supérieur. Le programme s'articule autour de cinq grands thèmes : algèbre, analyse, géométrie, probabilités et algorithmique.

1. Algèbre

Le second degré

Le trinôme du second degré est une expression de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) est l'abscisse du sommet et β = f(α) = c − b²/(4a) est l'ordonnée du sommet.

La forme canonique permet de lire directement le sommet de la parabole et le sens de variation : si a > 0 la parabole est tournée vers le haut (minimum en α), si a < 0 elle est tournée vers le bas (maximum en α).

Discriminant : Δ = b² − 4ac. Le discriminant détermine le nombre de racines réelles :

• Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a). On peut factoriser : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
• Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a). Factorisation : f(x) = a(x − x₀)².
• Si Δ < 0 : pas de racine réelle. Le trinôme ne change pas de signe (il est du signe de a pour tout x).

Signe du trinôme — règle essentielle :

Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Plus précisément :

• Si a > 0 : f(x) ≥ 0 pour x ≤ x₁ ou x ≥ x₂, et f(x) ≤ 0 pour x₁ ≤ x ≤ x₂.
• Si a < 0 : f(x) ≤ 0 pour x ≤ x₁ ou x ≥ x₂, et f(x) ≥ 0 pour x₁ ≤ x ≤ x₂.

Somme et produit des racines (si Δ ≥ 0) : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Suites numériques

Définition : une suite (u_n) est une fonction de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ. Elle peut être définie :

• De manière explicite : u_n = f(n). Exemple : u_n = 3n + 1.
• Par récurrence : on donne u₀ et une relation u_(n+1) = f(u_n). Exemple : u₀ = 2, u_(n+1) = 2u_n − 1.

Suite arithmétique de raison r :

• Relation de récurrence : u_(n+1) = u_n + r
• Terme général : u_n = u_0 + n × r (ou u_n = u_p + (n − p) × r)
• Somme des n+1 premiers termes : S = (n + 1) × (u_0 + u_n) / 2 = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2
• Sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0

Suite géométrique de raison q (q ≠ 0) :

• Relation de récurrence : u_(n+1) = u_n × q
• Terme général : u_n = u_0 × q^n
• Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : S = u_0 × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)
• Sens de variation (pour u_0 > 0) : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1

Variations d'une suite quelconque : on étudie le signe de u_(n+1) − u_n. Si u_(n+1) − u_n > 0 pour tout n, la suite est croissante.

2. Analyse — Dérivation

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux d'accroissement :

f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)] / h

Interprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)).

Équation de la tangente au point d'abscisse a : y = f'(a)(x − a) + f(a)

Fonction dérivée

La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x).

Dérivées des fonctions usuelles :

Opérations sur les dérivées :

• Somme : (u + v)' = u' + v'
• Produit par un scalaire : (ku)' = ku'
• Produit : (uv)' = u'v + uv'
• Quotient : (u/v)' = (u'v − uv') / v² (là où v ≠ 0)

Dérivation et sens de variation

C'est le lien fondamental entre dérivée et fonction :

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

Extremum local : si f'(a) = 0 et si f' change de signe en a, alors f admet un extremum local en a. Si f' passe de + à −, c'est un maximum local. Si f' passe de − à +, c'est un minimum local.

Méthode pour dresser un tableau de variations :

1. Calculer f'(x)
2. Résoudre f'(x) = 0
3. Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
4. En déduire les variations de f et les valeurs aux points clés

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. On la note exp ou e^x.

Propriétés algébriques :

• e^(a + b) = e^a × e^b
• e^(a − b) = e^a / e^b
• (e^a)^n = e^(na)
• e^0 = 1, e^1 = e ≈ 2,718

Signe : e^x > 0 pour tout x réel. L'exponentielle ne s'annule jamais.

Sens de variation : la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ (puisque sa dérivée est elle-même et est toujours positive).

Dérivée : (e^x)' = e^x. Plus généralement, si u est une fonction dérivable : (e^(u(x)))' = u'(x) × e^(u(x)).

Équations et inéquations :

• e^a = e^b ⟺ a = b
• e^a < e^b ⟺ a < b (car exp est strictement croissante)

3. Géométrie

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est un nombre réel défini par :

u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ)

où θ est l'angle entre les deux vecteurs.

Expression analytique : si u⃗(x_u ; y_u) et v⃗(x_v ; y_v) dans un repère orthonormé :

u⃗ · v⃗ = x_u × x_v + y_u × y_v

Autres formules :

• u⃗ · v⃗ = (1/2)(||u⃗ + v⃗||² − ||u⃗||² − ||v⃗||²)
• u⃗ · v⃗ = (1/2)(||u⃗||² + ||v⃗||² − ||u⃗ − v⃗||²)

Propriétés :

• Symétrie : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗
• Bilinéarité : u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ et (λu⃗) · v⃗ = λ(u⃗ · v⃗)
• u⃗ · u⃗ = ||u⃗||² (norme au carré)

Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0

Applications du produit scalaire

Projeté orthogonal : si H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA), alors u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × OH (avec un signe selon l'orientation).

Formule d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore) : dans un triangle ABC :

BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â)

Si  = 90°, on retrouve le théorème de Pythagore.

Trigonométrie

Cercle trigonométrique : cercle de centre O et de rayon 1. Un angle orienté θ (en radians) correspond au point M(cos θ ; sin θ) sur le cercle.

Conversions : π rad = 180°. Donc : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.

Relation fondamentale : cos²(θ) + sin²(θ) = 1 pour tout θ.

Valeurs remarquables :

Formules d'addition :

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
• cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)

Formules de duplication :

• cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a)
• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

4. Probabilités

Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P_A(B) ou P(B|A), est :

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) (avec P(A) > 0)

D'où la formule des probabilités composées : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

Arbres pondérés : chaque branche porte une probabilité conditionnelle. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.

Formule des probabilités totales : si A₁, A₂, …, A_n forment une partition de Ω, alors :

P(B) = P(A₁) × P_{A₁}(B) + P(A₂) × P_{A₂}(B) + … + P(A_n) × P_{A_n}(B)

Indépendance

Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Cela équivaut à P_A(B) = P(B) (la réalisation de A n'influence pas la probabilité de B).

Attention : indépendance ≠ incompatibilité. Deux événements incompatibles (de probabilités non nulles) ne sont jamais indépendants.

Variables aléatoires

Une variable aléatoire X sur un univers fini associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience.

Loi de probabilité : tableau donnant les valeurs x_i prises par X et les probabilités P(X = x_i). La somme des probabilités vaut 1.

Espérance : E(X) = Σ x_i × P(X = x_i). C'est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.

Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² = Σ (x_i − E(X))² × P(X = x_i)

Écart-type : σ(X) = √V(X). Plus σ est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de l'espérance.

Propriétés de linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b. V(aX + b) = a²V(X).

5. Algorithmique et programmation

Listes en Python

Les listes permettent de stocker des collections ordonnées de valeurs :

L = [3, 7, 2, 9]
L[0]  # premier élément : 3
len(L)  # longueur : 4
L.append(5)  # ajouter un élément

Parcours d'une liste :

for element in L:
    print(element)

Recherche dans une liste

Recherche séquentielle d'une valeur v dans une liste L :

def recherche(L, v):
    for i in range(len(L)):
        if L[i] == v:
            return i
    return -1

Applications aux suites

Calcul des termes d'une suite définie par récurrence :

def suite_arith(u0, r, n):
    u = u0
    for i in range(n):
        u = u + r
    return u

Recherche de seuil : trouver le plus petit n tel que u_n > S :

def seuil(u0, q, S):
    u = u0
    n = 0
    while u <= S:
        u = u * q
        n = n + 1
    return n

Conseils de méthode pour la Première

• Second degré : commencez toujours par calculer le discriminant Δ. Il détermine tout : nombre de racines, factorisation, signe.
• Dérivation : apprenez le tableau des dérivées par cœur. Pour étudier les variations, calculez f', résolvez f'(x) = 0, étudiez le signe de f' et dressez le tableau de variations.
• Exponentielle : retenez que e^x > 0 toujours, (e^x)' = e^x, et que e^a = e^b ⟺ a = b.
• Produit scalaire : choisissez la bonne formule selon les données (coordonnées → analytique, normes → formule avec normes, angle → formule avec cosinus).
• Probabilités conditionnelles : dessinez systématiquement un arbre pondéré. Utilisez la formule des probabilités totales quand on vous demande P(B).
• Suites : identifiez si la suite est arithmétique ou géométrique (testez u_(n+1) − u_n ou u_(n+1)/u_n). Sinon, étudiez u_(n+1) − u_n pour les variations.