Maths prépa MPSI/PCSI : la rigueur avant la technique

Deux ans pour condenser ce que la fac fait en trois. Le programme s'articule en trois blocs : analyse, algèbre, probabilités, chacun cumulant des outils de plus en plus puissants. Aux concours (X, ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP, e3a), les correcteurs ne récompensent pas le calcul brut — ils récompensent la rigueur du raisonnement et la capacité à articuler plusieurs notions sur un même problème.

Cette fiche couvre l'essentiel du programme MPSI / PCSI première année, avec les définitions, théorèmes et techniques de calcul à connaître par cœur.

1. Analyse — Suites, fonctions, intégration

1.1 Suites numériques

Une suite (uₙ) converge vers ℓ si ∀ε > 0, ∃ N tel que n ≥ N ⟹ |uₙ − ℓ| < ε. Cette définition formelle est à savoir réécrire sans hésitation : elle est testée à l'oral dans toutes les grandes écoles.

Théorèmes clés :

• Toute suite croissante majorée converge (théorème de la limite monotone)
• Théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et vₙ, wₙ → ℓ, alors uₙ → ℓ
• Critère de Cauchy : (uₙ) converge ⟺ (uₙ) est de Cauchy
• Suites adjacentes : convergent vers la même limite

Suites usuelles :

• Géométrique : uₙ = a · rⁿ, converge ssi |r| < 1 (limite 0) ou r = 1 (limite a)
• Arithmético-géométrique : uₙ₊₁ = a·uₙ + b, point fixe ℓ = b/(1−a) si a ≠ 1
• Récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) : étudier la monotonie via f', les points fixes, et utiliser le théorème du point fixe si f est contractante

1.2 Fonctions d'une variable réelle

Continuité, dérivabilité : continuité ⟸ dérivabilité, mais la réciproque est fausse (fonction valeur absolue en 0). Le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle sont les fondations de l'analyse.

Théorème des accroissements finis (TAF) : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors ∃ c ∈ ]a, b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a). Conséquence directe : inégalité des accroissements finis, indispensable pour majorer |f(x) − f(y)|.

Formules de Taylor :

• Taylor-Young (local) : f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)² + … + o((x−a)ⁿ)
• Taylor-Lagrange : reste sous forme f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)·(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)! pour un certain c
• Taylor avec reste intégral : reste = ∫ₐˣ (x−t)ⁿ/n! · f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

Développements limités à connaître par cœur en 0 :

• eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)
• ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n + o(xⁿ)
• (1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2 · x² + …
• sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − … et cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 − …
• arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − … (rayon 1)

1.3 Intégration sur un segment

L'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux sur [a, b] se construit par sommes de Darboux. Les propriétés à mobiliser : linéarité, positivité, inégalité de la moyenne, relation de Chasles.

Techniques de calcul :

• IPP (intégration par parties) : ∫u'v = [uv] − ∫uv'
• Changement de variable : ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫_{φ⁻¹(a)}^{φ⁻¹(b)} f(φ(t)) · φ'(t) dt
• Décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles
• Linéarisation pour les puissances de sin et cos

1.4 Équations différentielles linéaires

EDO d'ordre 1 : y' + a(x)·y = b(x). Solution générale = solution particulière + solutions de l'équation homogène. La solution homogène s'écrit y_h = K · exp(−A(x)) où A est une primitive de a.

EDO d'ordre 2 à coefficients constants : y'' + py' + qy = f(x). Polynôme caractéristique r² + pr + q = 0. Selon le discriminant Δ :

• Δ > 0 : y_h = C₁·exp(r₁x) + C₂·exp(r₂x)
• Δ = 0 : y_h = (C₁ + C₂x)·exp(rx)
• Δ < 0 : y_h = exp(αx)·(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx)) avec r = α ± iβ

Pour la solution particulière, méthode de variation de la constante ou recherche par essai (polynôme, exponentielle, sin/cos selon la forme du second membre).

2. Algèbre — Structures et algèbre linéaire

2.1 Structures algébriques

Un groupe (G, ·) vérifie : associativité, élément neutre, tout élément a un symétrique. Il est abélien si la loi est commutative. Exemples : (ℤ, +), (ℝ*, ×), (Sₙ, ∘) groupe symétrique.

Un anneau (A, +, ×) : (A, +) est un groupe abélien, × est associative et distributive sur +. Si × est commutative, l'anneau est commutatif. Un corps est un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible.

2.2 Espaces vectoriels et applications linéaires

Un espace vectoriel sur 𝕂 (= ℝ ou ℂ) est un ensemble E muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire. Les axiomes (8 en tout) doivent être maîtrisés.

Sous-espace vectoriel : F ⊂ E est un sev ssi 0 ∈ F, F est stable par + et par · scalaire.

Famille libre, génératrice, base : (e₁, …, eₙ) est libre si Σ λᵢ·eᵢ = 0 ⟹ ∀i, λᵢ = 0. Génératrice si Vect(eᵢ) = E. Base si libre et génératrice. Le théorème de la dimension garantit que toutes les bases d'un ev de dimension finie ont le même cardinal.

Application linéaire f : E → F vérifie f(λx + μy) = λf(x) + μf(y). Noyau Ker(f) = {x : f(x) = 0}, image Im(f) = f(E). Théorème du rang : dim(E) = dim(Ker f) + dim(Im f). Une application linéaire entre espaces de même dimension est bijective ssi injective ssi surjective.

2.3 Matrices et déterminants

Une matrice M ∈ ℳₙ(𝕂) représente une application linéaire dans une base donnée. Le produit matriciel correspond à la composition d'applications.

Inverse : M est inversible ⟺ det(M) ≠ 0 ⟺ rg(M) = n ⟺ M est bijective. Calcul par la comatrice ou par pivot de Gauss.

Déterminant : forme n-linéaire alternée. Propriétés essentielles :

• det(AB) = det(A)·det(B)
• det(Aᵀ) = det(A)
• det(λA) = λⁿ·det(A) (pour A ∈ ℳₙ)
• Formule de Laplace : développement selon une ligne ou une colonne

Diagonalisation : M est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre. Test rapide : matrice symétrique réelle ⟹ diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).

3. Probabilités

En MPSI/PCSI, les probabilités sont discrètes (les variables aléatoires à densité arrivent en deuxième année).

3.1 Espace probabilisé

Un espace (Ω, 𝒜, P) où Ω est l'univers, 𝒜 une tribu (σ-algèbre), P une mesure de probabilité. Les axiomes de Kolmogorov : P(Ω) = 1, P(∅) = 0, σ-additivité.

Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Formule des probabilités totales : si (Bᵢ) est un système complet d'événements, P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ). Formule de Bayes : P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A).

3.2 Variables aléatoires discrètes

Loi, espérance E(X), variance V(X) = E(X²) − E(X)². Linéarité de l'espérance : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), toujours valable. La variance n'est linéaire qu'avec X et Y indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Lois usuelles à mémoriser :

• Bernoulli ℬ(p) : E = p, V = p(1−p)
• Binomiale 𝒷(n, p) : E = np, V = np(1−p)
• Géométrique 𝒢(p) (n° du premier succès) : E = 1/p, V = (1−p)/p²
• Poisson 𝒫(λ) : E = λ, V = λ

3.3 Inégalités fondamentales

• Markov : si X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E(X)/a
• Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ V(X)/a²
• Loi faible des grands nombres : (X̄ₙ) → E(X) en probabilité

Méthodologie pour les concours

Trois conseils essentiels qui font la différence :

1. Lire l'énoncé deux fois avant de commencer à écrire. La moitié des erreurs vient d'une mauvaise compréhension de la question.
2. Justifier chaque étape, même celles qui paraissent évidentes. Les correcteurs ne vous lisent pas dans la tête.
3. Ne pas s'acharner sur une question bloquée. Continuer le sujet et revenir à la question difficile à la fin. Beaucoup de problèmes débloquent quand on a vu la suite.

L'IA d'EduFiche peut générer en quelques secondes une fiche personnalisée à partir de tes propres polycopiés de prépa. Tu uploades ton cours, l'IA te restitue la synthèse structurée que tu peux annoter et imprimer pour les colles et les DS.