Statistiques L1 : l'UE qui fait peur (pour rien)

L'UE de stats est commune à plusieurs cursus en L1 : éco, psycho, socio, biologie, AES, STAPS. Beaucoup la redoutent à cause des formules — à tort, c'est un programme bien borné en deux blocs. Statistique descriptive : résumer un jeu de données (moyenne, médiane, écart-type, corrélation). Statistique inférentielle : généraliser à une population à partir d'un échantillon (TCL, intervalles de confiance, tests d'hypothèses). Voilà les outils et formules à maîtriser.

1. Statistique descriptive

1.1 Vocabulaire de base

• Population : ensemble étudié (par exemple les étudiants français).
• Échantillon : sous-ensemble réellement observé.
• Individu : élément de la population.
• Variable (ou caractère) : ce qu'on mesure sur chaque individu.

Les variables sont qualitatives (nominales : sexe, couleur ; ordinales : niveau d'études) ou quantitatives (discrètes : nombre d'enfants ; continues : taille, poids).

1.2 Indicateurs de tendance centrale

• Moyenne arithmétique : x̄ = (1/n) · Σ xᵢ
• Médiane : valeur qui partage l'échantillon en deux parties égales (50 % au-dessus, 50 % en dessous).
• Mode : valeur la plus fréquente.

La médiane est plus robuste aux valeurs extrêmes (outliers) que la moyenne. Pour des revenus, on utilise plutôt la médiane.

1.3 Indicateurs de dispersion

• Étendue : max − min.
• Variance : V = (1/n) · Σ (xᵢ − x̄)². On utilise souvent la formule de König-Huygens : V = (1/n)·Σxᵢ² − x̄².
• Écart-type : σ = √V. Même unité que la variable.
• Coefficient de variation : CV = σ/x̄. Permet de comparer la dispersion entre variables d'unités différentes.
• Quartiles : Q1 (25 %), Q2 (médiane), Q3 (75 %). Écart interquartile : IQR = Q3 − Q1.

1.4 Statistiques bivariées

Quand on étudie deux variables conjointement :

• Covariance : Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))] = E(XY) − E(X)E(Y)
• Coefficient de corrélation : ρ = Cov(X, Y) / (σx · σy), compris entre −1 et 1
• Régression linéaire : Y = aX + b avec a = Cov(X, Y) / V(X) et b = ȳ − a·x̄

Le coefficient de détermination R² = ρ² indique la part de la variance de Y expliquée par X.

2. Probabilités

2.1 Espace probabilisé

Univers Ω, événements A ⊂ Ω, probabilité P avec 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, et σ-additivité.

Formules clés :

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (probabilité conditionnelle)
• P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) (formule des probabilités composées)
• Indépendance : A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Formule de Bayes : P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B). Indispensable pour les problèmes de tests médicaux et de classification.

2.2 Variables aléatoires

Une variable aléatoire X est une fonction de Ω vers ℝ. On distingue :

• Discrète : valeurs énumérables. Loi caractérisée par P(X = k).
• Continue : densité f telle que P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx.

Espérance : E(X) = Σ k · P(X = k) ou ∫ x · f(x)dx Variance : V(X) = E(X²) − E(X)² Linéarité : E(aX + b) = a·E(X) + b ; V(aX + b) = a²·V(X)

2.3 Lois usuelles

La loi normale est la reine des statistiques : elle apparait via le théorème central limite (voir 3.2).

3. Statistique inférentielle

3.1 Échantillonnage

À partir d'un échantillon de taille n, on estime des paramètres de la population. Estimateur de la moyenne : X̄ = (1/n)·Σ Xᵢ. Si X est de loi 𝒩(μ, σ²), alors X̄ suit 𝒩(μ, σ²/n).

3.2 Théorème central limite (TCL)

Pour n grand (en pratique n ≥ 30), si X₁, ..., Xₙ sont i.i.d. d'espérance μ et de variance σ², alors :

(X̄ − μ) / (σ/√n) → 𝒩(0, 1) en loi

Le TCL justifie l'utilisation de la loi normale pour des grands échantillons même si la loi initiale n'est pas normale.

3.3 Intervalles de confiance

Pour la moyenne, intervalle de confiance à 95 % :

IC₉₅ = [x̄ − 1,96 · σ/√n , x̄ + 1,96 · σ/√n]

Si σ inconnu, on remplace par l'écart-type empirique s et on utilise la loi de Student à (n − 1) degrés de liberté.

3.4 Tests d'hypothèses

Démarche :

1. Poser H₀ (hypothèse nulle) et H₁ (hypothèse alternative)
2. Choisir un seuil α (généralement 5 %)
3. Calculer la statistique de test
4. Conclure : si p-valeur < α, on rejette H₀

Tests classiques :

• Test de comparaison de moyennes (Student)
• Test du chi² d'indépendance ou d'adéquation
• Test de proportion (z)

Erreurs :

• Erreur de type I (α) : rejeter H₀ alors qu'elle est vraie
• Erreur de type II (β) : accepter H₀ alors qu'elle est fausse
• Puissance = 1 − β

Erreurs à éviter

Les fautes les plus fréquentes en partiel :

• Confondre moyenne et médiane dans l'interprétation
• Oublier de diviser par √n dans l'écart-type de la moyenne
• Mal poser H₀ et H₁ dans un test (le sens de l'inégalité change le test)
• Utiliser la loi normale pour de petits échantillons (n < 30) sans loi de Student

EduFiche transforme tes cours de statistiques (économie, psycho, socio, bio) en fiches synthétiques avec exercices types. L'IA s'adapte au niveau de ton enseignant et à ton programme exact.